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九章算术（第1页）

九章算术

内容简介

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。它们的主要内容分别是：

第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。其中例题38个，立术21条。

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；其中例题46个，立术33条。

第三章“衰分”：比例分配问题。其中例题20个，立术22条。

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。其中例题24个，立术16条。

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；其中例题28个，立术24条。

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。其中例题28个，立术28条。

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。其中例题20个，立术27条。

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。其中例题18个，立术19条。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a2+b2=c2。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。其中例题24个，立术19条。

《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考，一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐发展完备成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题。《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

2020年4月，列入《教育部基础教育课程教材发展中心中小学生阅读指导目录（2020年版）》初中段

创作背景

《九章算术》早期文本的编纂时间及经过，历代聚讼，众说不一，目前为止，最明确而中肯的论定还是出自刘徽的《九章算术注·原序》：昔在庖牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。……按：周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。

郭书春认为刘徽关于《九章算术》编纂的论述是完全正确的。他说：“《九章算术》由先秦‘九数’发展而来的，是张苍、耿寿昌在先秦遗文的基础上先后整理、加工、增补而成的，它的最后编定者是耿寿昌，时在公元前一世纪中叶。”但在早期文本的流传过程中书名的确定尚存诸多疑点，据现有史料推测，《九章算术》书名出现应晚于文本的编定，约于公元一世纪后期。

1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

作品思想

数形结合

数学和形是数学中最基本的原始概念，《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研方法其现用的计来解的研究论题如“开方”“开立”种种平面图形和立体图形的求积问题，都用数的计算，即着重于考察图形中的数的关系，算出确定的数值。同时亦用形的直观来解释数的算法如对“开方”“开立”等为以图形作解释打下基础（实际的解释是刘徽完成的，在刘徽的注文中，更发展为“析理以释解体用图”的系统方法。

数形结合的思想有助于数学的各个领域的融汇贯通，有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻，灵活，是现代数学教学中强调的基本数学思想之一。

模型化思想

数学模型是为了解决现实世界问题而建立的，数学模型是人们认识原型的方式之一。结合方程，构建数学模型数学应用问题是包含了一个或多个数量关系的具体情节或事件，解决数学应用问题的过程就是从情节中抽象并理顺数量关系的过程，方程是有效地表达、处理、交流和传递信息的工具，是反映客观事物数量变化规律的一种模型。数学应用问题可以以方程为途径，构建数学模型来解决，在这种情况下所构建的就是方程模型。

《九章算术》做了许多属于建立和使用数学模型的工作。它的“九章”内至少有三章——盈不足、方程、勾股——提供的就是基本的数学模型。[8]

相对关系

刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。

《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。

一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

逻辑定义

刘徽对《九章算术》中的所有数学概念都做了解释或逻辑定义，在解释和定义中，他非常注意数学推理的逻辑性，充分考虑各问题之间的逻辑关系。在“勾股”章的注释中，明确指出：这一章之所以一开头就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。刘徽用这一精彩的论述，从“逻辑”角度注释了勾股定理出现在“勾股”章开头的必要性。刘徽认为有些问题不能只限于感性认识，必须在感性认识的基础上提升到理性认识的层面，并在理性认识的基础上形成数学理论。因而，他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证。

数学成就