她在抛物线上找出一个个点,分别垂直x轴与y轴做出两条线,以此把这个不规则图形分成了一个个矩形。这些矩形的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而,把这些矩形分的越细,他们的面积就会越接近于那个不规则图形。
艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形,那么每个矩形的宽度就是1n。又因为抛物线的函数式是y=x2,那么第一个矩形的高就是(1n)2,第二个矩形的高度就是(2n)2……
那么,所有矩形的面积之和就是:
s=1nx(1n)2+1nx(2n)2+……+1nx(nn)2
这是一个无穷级数。然而,戈特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后,她得到了一个极为简单的算式:
s=13+1(2n)+1(6n2)
n越大,矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的时候,矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时,1(2n)和1(6n2)就是无限小,完全可以舍去。
于是这个不规则图形的面积就显而易了:s=13。
——无限大、无限小
艾拉把刚刚出现的这两个概念低声念了一遍。在数学运算中出现了无限的概念,让她多少感到有些不适。
她甩甩头,把这种不适感抛到脑后,然后将函数式由y=x2改成了y=x3
虽然只是轻微的改动,但要求出面积的难度立刻大了数倍。这次,艾拉写了整整两页纸,也没能向先前一样把公式化简。
“为什么一涉及曲线,就总是会出现无限啊!”
艾拉抛下笔,抱着头哀嚎了起来。
无限,这是所有数学家都难以跨越的深渊。
抛物线和圆都还只是最简单的曲线,只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。艾拉抓住了这根小树枝。可当继续下望时,她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式,她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线。
她发现了它们,却根本无法驾驭它们。这仿佛是神明的一个警告:人啊,做你该做的事!
无限,这是人类绝对不能涉足的禁区。
“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了!”
艾拉又一次大喊了起来。
“小声点!”
亚伯拉罕正教会的人纷纷向艾拉投来了不满的视线,吓得艾拉慌忙捂住了嘴巴。
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