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第三章 数理化成就（第2页）

刘徽，生于公元250年左右，东汉三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

刘徽的主要著作有：《九章算术注》10卷；《重差术》即《海岛算经》1卷；《九章重差图》1卷。遗憾的是，后两本著作都是宋代失传。刘徽的数学成就大致为两方面：一是理清了中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，二是在继承前人成果的基础上提出了自己的创见。刘徽著的《九章算术》在数系理论、筹式演算理论、勾股理论、面积与体积理论以及割圆术与圆周率等方面已经形成了自己比较完整的理论体系。

《九章算术》是中国最重要的一部经典数学著作，现传本《九章算术》共收集了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。《九章算术》所包含的各种算法是汉朝数学家们在秦以前流传下来的数学基础上，适应当时的需要补充修订而成的。它是由国家组织力量编纂的一部官方性数学教科书，对两汉时期数学的发展产生了很大的影响。

《九章算术》不仅在中国数学史上具有重要地位，对世界数学的发展也有着杰出的贡献。分数理论及其完整的算法，比例和比例分配算法，面积和体积算法，以及各类应用问题的解法，在书中的方田、粟米、衰分、商功、均输等章已有了相当详备的叙述。而少广、盈不足、方程、勾股等章中的开立方法、盈不足术（双假设法）、正负数概念、线性联立方程组解法、整数勾股弦的一般公式等内容都是世界数学史上的卓越成就。

在数系理论方面

刘徽用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

在筹式演算理论方面

刘徽赋予先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

在勾股理论方面

刘徽逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

割圆术与圆周率

刘徽在《九章算术?圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=15750=3。14，又算到3072边形的面积，得到π=39271250=3。1416，称为“徽率”。

7。数学史上的伟大创造——算筹

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为１３～１４ｃｍ，径粗０。２～０。３ｃｍ，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。

传说在古时候，有一个卖米商人去县城运货。一大清早，天刚蒙蒙亮，人们都还在睡觉，牲畜们也在美妙的梦乡之中，他就急匆匆地出发了。

走着走着，就到中午了，商人坐下来，休息了一会儿。这时，他忽然想起了一个问题，他的马车最多能运七十五袋米，现在马车上已经有三十四袋米了，最多还能运几袋米呢?商人想来想去，都不知道该运多少。这时，有两根树枝慢慢的掉了下来，让商人有了一点启发:用五根树枝表示五袋米，在用七根稍长一点的树枝表示七十袋，并在下面摆三根大的树枝，四根小的树枝，再从五根树枝中拿出四根，七根树枝中拿出三根，就是四十一了！原来最多能运四十一袋。商人知道了最多能运几袋，坐起身来，骑上马，继续向县城行驶。

这就是有关算筹发明的故事。在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。

为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。其一是“十进制”，即每满十数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码“2”，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000了。在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造，与世界其他古老民族的记数法相比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就，在一定程度上应该归于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一"，确实是一点也不过分的。

8。物理学成就的汇集——《墨经》

墨子（前468～前376），他是一个制造机械的手工业者，精通木工。墨子一派中人多数是直接参加劳动的，接近自然，热心于对自然科学的研究，又有比较正确的认识论和方法论的思想，他们把自己的科学知识、言论、主张、活动等集中起来，汇编成《墨子》。

《墨经》是战国时期墨家著作的总集《墨子》中的一部分，是墨子和他的弟子们写的。这是一部内容丰富、结构严谨的科学著作。在我国浩如烟海的经史著作中，《墨经》是唯一一本对我国古代几何光学发展进行系统性论述的典籍。书中不仅涉及到社会科学范畴的广阔内容，还包含有时间空间、物质结构、力学、光学和几何学等自然科学方面的内容。

在力学方面

《墨经》中有一个“力矩”的概念，他们把杠杆支点的一边叫做“本”，另一边叫做标，提出：力臂长，重量重的一端下垂；力臂短，重量轻的一端则往上翘。墨家比公元前3世纪的阿基米德更早地懂得力的平衡关系。

墨家别出心裁地做了细致的不等臂称实验：头发丝引重。用一根头发丝代替挂秤砣的绳子，并用手拉头发丝代替秤砣。他们发现：如果力臂较长，重臂较短，达到头发丝的最大抗拉力×力臂≥物品的重量×重臂，那么头发丝就不会扯断；反之，头发丝就会扯断。显然，这就是杠杆工作的原理。

《墨经》对机械运动提出了正确的定义，即运动就是物体的变化，并且讨论了平动、转动等不同形式的机械运动，对浮力原理也有详细的阐述。

在光学方面

《墨经》是世界上最早的几何光学著作，记载着丰富的几何光学知识。墨子和他的学生们做了世界上最早的小孔成像实验，对于光的直线传播、光的反射和若干物影成像，进行了精彩的描述。

有一次，墨子进行光学试验，他在堂屋朝阳的墙上开了一个小孔，让一个人对着小孔站在屋外，在阳光照射下，屋内相对的墙上出现倒立的人影。

为什么会出现这奇怪的现象呢？墨子解释道：这是因为光线像射箭一样，是直线行进的。人体下部挡住了直射过来的光线，穿过小孔，成影在上边；人体上部挡住直射过来的光线，穿过小孔，成影在下边，就成了倒立的影。墨子并指出，人的位置离墙壁由远及近，暗室里的影也由小变大，倒立在墙上。这是对光直线传播的第一次科学解释。

书中还利用光线直线传播的原理，解释了物体和投影的关系。墨子认为，光被遮挡就产生投影，物体的投影，并不跟随物体一起移动。如飞翔着的鸟儿，它的影子仿佛也在飞动着，实际上并不是这种情况。

墨子指出，飞鸟遮住了直线前进的光线，形成了影子。在一瞬间，飞鸟移动了位置，原来光线照射不到的地方，旧影就消失了，而在新的地方，出现新的影子。这就是说，鸟在飞翔中，它的影子并不跟着移动，而是新旧投影的不断更新。在2000多年前，能这样深入细致地研究光的性质，做出正确解释，确是难能可贵的。

墨子和他的学生们对镜子成像的原理进行了深入的研究，并提出了平面镜、凹面镜和凸面镜成像的理论。

9。光影迷离的魔镜——透光镜

在河北省衡水市饶阳县五公镇，村民李兰捆，凭着一本《中国古代冶金简史》，经过无数次的钻研和摸索，在自己盘的土打铁炉上，成功复制了传说中的“透光镜”。2009年国庆前夕，张兰捆在自己的打铁炉上又造出一枚透光镜，上面有“新中国六十华诞纪念”字样，他说，作为共和国的同龄人，他要造出一枚透光镜迎接新中国成立60周年。?

在造这枚透光镜的时候，李兰捆将两个镜面背对着镶嵌在一起，用铜条严密地箍着，还加了些装饰性的花纹，但是这样一来，铜镜背面的内容就看不到了。于是李兰捆又特意制作了一个铜质包装盒，铜镜背面的花纹和“祖国万岁”字样就印在上面。　　把这枚铜镜镜面对准阳光，向一个白木板上反光时，铜镜后面的图案果然呈现在了光影里，果然是那朵花的图案和“祖国万岁”四字。

透光镜是西汉时出现的一种独特的神奇铜镜，镜的外形与一般青铜镜无异，但当光线照射镜面时，会显现出镜子背面的花纹，仿佛光从镜子背后透出一样，由此被称为“透光镜”。隋唐之际王度的《古镜记》、宋周密的《云烟过眼录》等，都有关手透光镜的记载。明明是一面没有镂空，不透明的铜镜，为什么能透光呢？

为了研究铜镜透光的原理，历代学者对“透光镜”投入了极大的关注。宋代大科学家沈括对“透光镜”进行了深入的考察，指出透光镜之所以可以透光，关键原因在于“文虽在背，而鉴面隐然有迹”，这个解释是十分正确的。因为镜背面有花纹，致使镜面也呈现出相对应的微观曲率，肉眼虽然容易觉察，但当镜子反射光线时，由于长光程放大效应，就能在屏上反映出来。清代的物理学家对透光镜的原理进行了进一步的说明。他还利用水面纹波的道理对透光镜进行了介绍生动的解释，平静的水面所反射的光线，投到墙壁上，也能看到有点动荡，这就是因为水面实际上有微小的起伏的波纹，和透光镜的原理是一样的。

1975年，复旦大学光学系和上海博物馆的研究人员还用实验证明了沈括的解释的正确性。他们用淬火冷缩法仿制了一面透光镜，效果和古镜一样。上海交通大学铸工教研组的研究认为：铜镜在铸造过程中，镜背的花纹凹凸处凝固收缩，产生铸造应力；研磨时又产生压应力，因而形成弹性形变。研磨到一定程度时，这些因素迭加地发生作用，使镜面产生与镜背花纹相应而肉眼不易觉察的曲率，引起“透光”效应。因此这种镜子的效应实际不是透光而是映象。